Los tramites para sacar la tarjeta sanitaria Europea no son muchos, y ademas no son complicados, el proceso completo desde que solicitas hasta que te llega la tarjeta no dura mas de una semana, por ello lo que te recomiendo en el caso de necesitarla para un viaje es que la pidas dos semanas antes como minimo, de todas maneras puede ser medio complicado completar los recaudos pero para ello te recomiendo seguir el paso a paso en
http://www.solicitartarjetasanitariaeuropea.com/ , ojala te ayude, un abrazo.